DESIGUALDADES
Antes de empezar de lleno a lo que son las desigualdades, se debe tomar en cuenta que estas tienen Soluciones dictadas por Intervalos, así que primero mencionaremos a que nos referimos con Intervalo.
INTERVALO
Un intervalo es un subconjunto de los números Reales que se encuentra comprendido entre 2 extremos.
-Si a, b ∈ R y a < b, entonces, los 3 conjuntos siguientes se llaman Intervalos de a y b.
Intervalo Cerrado.
Un intervalo cerrado es aquel que incluye los extremos del intervalo y todos los valores comprendidos entre ellos. Se representa con una expresión del tipo (X ∈ R/ a ≤ x ≤ b) = [a,b].
Intervalo Abierto
Un intervalo abierto es aquel que no incluye los extremos entre los cuales está comprendido el intervalo, pero si todos los valores ubicados entre estos. Se representa mediante una expresión como (X ∈ R/ a < x < b) = ]a,b[.
Intervalo semiabierto
Un intervalo semiabierto es aquel que incluye uno de los extremos, los valores que están entre ellos y el otro extremo queda excluido. Puede estar incluido o excluido el extremo derecho o izquierdo.
Se representa con una expresión como ``a ≤ x < b`` ó ``a < x ≤ b``, lo que sería [a,b) ó (a,b].
También se tienen los Intervalos al Infinito, los cuales crecen indefinidamente o bien decrecen indefinidamente.
Intervalos Infinitos
Un intervalo infinito es aquel que tiene en uno o ambos extremos un valor infinito. El extremo que posea el infinito será un extremo abierto. En caso de que ambos extremos sean infinitos, será la recta real.
Se representa con expresiones como: a ≤ x ó x ≤ a, lo que sería [a;∞) ó (-∞;a], respectivamente.
OPERACIONES CON INTERVALOS
Las principales operaciones que pueden efectuarse entre intervalos son tres: Unión, Intersección y Diferencia de Intervalos.
Siendo A y B dos conjuntos cualesquiera:
Unión
La unión de A con B, la cual se denota por A∪B, es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A, asi como tambien pertenecen a B.
Se representa con la siguiente expresión:
A ∪ B = (X/X ∈ A ò X ∈ B)
Intersección
La intersección de A con B, la cual se denota por A∩B, es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al mismo tiempo a A y a B.
Se representa con la siguiente expresión:
A ∩ B = (X/X ∈ A ^ X ∈ B)
Diferencia de Intervalos
La diferencia de A menos B, que se denota A-B, es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y que no pertenecen a B.
Se representa con la siguiente expresión:
A – B = (X/X ∈ A ^ X ∉ B)
Ejemplo.
Solución.
Solución.
Dados los intervalos: A= [-1,3) y B= (2,4)
Encontrar el A ∪ B.
Representamos el primer intervalo [-1,3) en la recta numérica: Está cerrado por la derecha, por lo que ponemos un punto lleno en -1 y abierto por la izquierda, por lo que en 3 corresponde un punto vacío:
Encontrar el A ∪ B.
Representamos el primer intervalo [-1,3) en la recta numérica: Está cerrado por la derecha, por lo que ponemos un punto lleno en -1 y abierto por la izquierda, por lo que en 3 corresponde un punto vacío:
Representamos el segundo intervalo (2,4) en la misma recta. Es un intervalo abierto, por lo que empieza en 2 con un punto vacío y termina en 4 con otro punto vacío:
La unión de los dos intervalos es la parte de la recta que se queda coloreada de algún color (o de ambos). En este caso empieza en -1 con un punto lleno y termina en 4 con un punto vacío, por tanto, el intervalo será cerrado por la izquierda y abierto por la derecha:
La respuesta sería: R/ [-1,4)
Luego de conocer un poco sobre los intervalos, ahora ya podremos entrar a Desigualdades.
DESIGUALDADES
Una expresión algebraica en que aparece cualquiera de los símbolos <, ≤, > o ≥; recibe el nombre de Desigualdad.
Para los números Reales a, b ^ c se cumplen las siguientes propiedades:
PROPIEDAD 1
-Si a >
0 ^ b > 0, entonces a+b > 0.
Esta propiedad dicta lo siguiente: ``La suma de dos números positivos es positiva``.
3 > 0 ^ 5 > 0 , entonces 3+5 > 0; 8 > 0.
PROPIEDAD 2
-Si a > 0 ^ b > 0, entonces ab > 0.
Esta propiedad dicta los siguiente: ``El producto de dos números positivos es positivo``.
4 > 0 ^ 7 > 0 , entonces 4x7 > 0; 28 > 0.
PROPIEDAD 3
-Si a ≤ b, entonces a+c ≤ a+b.
Esta propiedad dicta lo siguiente: ``Si a ambos lados de una desigualdad, se les suma o resta un mismo número, la desigualdad no cambia``.
6 ≤ 8, entonces 6+4 ≤ 8+4; 10 ≤ 12.
3 > 0 ^ 5 > 0 , entonces 3+5 > 0; 8 > 0.
PROPIEDAD 2
-Si a > 0 ^ b > 0, entonces ab > 0.
Esta propiedad dicta los siguiente: ``El producto de dos números positivos es positivo``.
4 > 0 ^ 7 > 0 , entonces 4x7 > 0; 28 > 0.
PROPIEDAD 3
-Si a ≤ b, entonces a+c ≤ a+b.
Esta propiedad dicta lo siguiente: ``Si a ambos lados de una desigualdad, se les suma o resta un mismo número, la desigualdad no cambia``.
6 ≤ 8, entonces 6+4 ≤ 8+4; 10 ≤ 12.
PROPIEDAD 4
-Si a ≤ b ^ c > 0, entonces ac ≤ bc.
Esta propiedad dicta los siguiente: ``Si ambos lados de una desigualdad se multiplican por el mismo número positivo, entonces la desigualdad no cambia``.
4 ≤ 7, entonces 4x5 ≤ 7x5; 20 ≤ 35
PROPIEDAD 5
-Si a ≤ b ^ c < 0, entonces ac ≥ bc ò a/c ≥ b/c.
Esta propiedad dicta lo siguiente: Si ambos lados de una desigualdad se multiplican o dividen por un numero negativo, entonces la desigualdad se invierte``.
-2 ≤ 4, entonces (-2)(-1/2) ≥ (4)(-1/2); 1 ≥ -2.
Nota: Resolver una desigualdad es hallar el conjunto de números que la satisface, a este se le llama Conjunto Solución.
DESIGUALDADES LINEALES DE UNA VARIABLE
Se le llaman desigualdades lineales de una variable a las desigualdades en las que solo aparece una incógnita y cuyo exponente es 1.
Este tipo de desigualdades se resuelven en 2 pasos que son:
PASO 1
Haciendo uso de las Propiedades 3, 4 y 5 se trasladan a un solo lado de la desigualdad todos los términos donde aparece la incógnita y, al otro lado, todos los términos conocidos.
PASO 2
Haciendo uso de las mismas propiedades se despeja la incógnita.
Ejemplo
Solución.
Resolver la desigualdad 4x-5 ≤ 11x+16; encontrar el conjunto solución.
4x-5 ≤ 11x-16
4x-5-4x ≤ 11x+16-4x (propiedad 3)
-5 ≤ 7x+16
-5-16 ≤ 7x+16-16 (propiedad 3)
-21 ≤ 7x
(1/7)(-21) ≤ (7x)(1/7) (propiedad 4)
-3 ≤ x
El conjunto solución esta formado por todos los números reales mayores o iguales a -3.
entonces, el conjunto solución para la desigualdad 4x-5 ≤ 11x+16 es:
R/ [-3,∞[
DESIGUALDADES CUADRÁTICAS DE UNA VARIABLE
Se llaman desigualdades cuadráticas de una variable a las desigualdades en que aparece solamente una incógnita, la cual es parte de un polinomio de segundo grado.
Las desigualdades cuadráticas de una sola variable se resuelven en forma diferente a como se resuelven las desigualdades lineales.
Este tipo de desigualdades se resuelven en 3 simples pasos que son:
PASO 1
Haciendo uso de las propiedades ya conocidas, se trasladan a un solo lado de la desigualdad todos los términos del polinomio, de tal manera que en el otro lado quede el numero 0.
PASO 2
Se factoriza el polinomio de segundo grado.
PASO 3
Se analizan por medio de un cuadro llamado Cuadro de Variación los signos de cada factor y de esta manera el signo del polinomio total.
Ejemplo.
Resolver la Desigualdad 1 ≥ 2x^2+x
Solución.
1 ≥ 2x^2+x
-2x^2-x+1 ≥ 0
(-2x+1)(x+1) ≥ 0 (factorizando)
Entonces: -2x+1 ≥ 0 o x+1 ≥ 0
-2x ≥ -1 o x ≥ -1
x ≥ 1/2 o x ≥ -1
Vemos que las raíces de la desigualdad son 1/2 y -1, por lo tanto procedemos a hacer el cuadro de variación.
-∞ -1 1/2 ∞
(-2x+1)
|
+
|
+
|
-
|
(x+1)
|
-
|
+
|
+
|
(-2x+1)(x+1)
|
-
|
+
|
-
|
R/[-1,1/2]
¿QUIERES PRACTICAR UN POCO?
Realiza el siguiente test sobre el tema antes tratado
Desarrollado por Rodrigo Antonio Loza Cabrera.
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