Probabilidad Básica.
Introducción:
Al lanzar una moneda no se puede saber con certeza el resultado que se obtendrá, sin embargo, puede existir una forma de tener un parámetro sobre los resultados que son más certeros y los que no. La rama de la matemática que estudia la forma de representar con números la mayor o menor certeza de la ocurrencia de un resultado para realizar predicciones se conoce como: probabilidad.
Un proceso que genera un conjunto de datos (o resultados, como el hecho de lanzar una moneda) se conoce como experimento. El conjunto de los posibles resultados que se pueden obtener al realizar un experimento se conoce como espacio muestral. Un elemento del espacio muestral se conoce como evento simple y cualquier subconjunto del espacio muestral se conoce como evento.
Definición:
Si en un experimento se cumple que cada evento simple (cada posible resultado) tiene la misma posibilidad de ocurrir, entonces el valor obtenido dividiendo el total de elementos que tiene un evento A (casos favorables), es decir, n(A), entre el total de elementos del espacio muestral S (casos posibles), es decir, n(S), se conoce como probabilidad teórica, además:
P(A)=n(A)/n(S)
Ejemplo:Determina la probabilidad de que al lanzar un dado dos veces caiga el número 3 en ambas ocasiones la cantidad de puntos sea 3.
Solución: considerando el espacio muestral :
S: los resultados al lanzar un dado dos veces.
Y denotando A: cae 3 en la primera y en la segunda tirada del dado.
n(S)=6x6=36 (por el principio de la multiplicación, al lanzar el dado ambas veces, este tiene 6 opciones por cada tirada.
n(A)=1x1 (solamente hay una forma en que caiga tres en ambas ocasiones)
Por lo tanto, P(A) = n(A)/n(S) = 1/36
(1 por cada 36 tiradas).
Intersección y regla de adición para probabilidad.
Sean A y B dos eventos cualesquiera de un espacio muestral (S), al evento definido por “ocurre tanto A como B” se denota por A⋂B y se lee “evento A intersectado B”.Cuando la intersección de 2 eventos es vacía, es decir, A⋂B = ∅, se dice que los eventos A y B son mutuamente excluyentes.
Cuando la intersección de 2 eventos es vacía, es decir, A⋂B = ∅, se dice que los eventos A y B son mutuamente excluyentes.
Además, al evento definido por “ocurre el evento A o el evento B” se denota por A⋃B y se lee “evento A unido B”. Puesto que se cumple que
n(A⋃B) = n(A) + n(B) – n(A⋂B), entonces:
Cuando los eventos A y B son mutuamente excluyentes se cumple que: P(A⋃B) = P(A) + P(B).
Ejemplo: Determina la probabilidad de que al lanzar dos dados el resultado de sumar sus puntos sea 5 o 7.
Solución: Considerando.
A: el resultado de la suma es 5.
B: el resultado de la suma es 7.
Luego A = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}
Entonces: P(A) = n(A)/n(S) = 4/36 = 1/9 y P(B) = 1/6 puesto que no puede caer 5 y 7 a la misma vez, entonces A y B son mutuamente excluyentes, por lo tanto,
P(A⋃B) = P(A) + P(B)= 1/9 + 1/6 = 5/18.
Axiomas de Kolmogórov
Para dos eventos A y B de un espacio muestral S se cumple:
1) 0 ≤ P(A) ≤ 1. Dado que A ⊆ S, entonces se cumple 0 ≤ n(A) ≤ n(S).
2) P(S) = 1. En esta situación los casos favorables son todos los casos posibles, o bien A = S.
3) Si A⋂B = ∅ entonces P(A⋃B) = P(A) + P(B).
Nota: Del axioma 2 y 3 se deduce que P(S) = P(S⋃∅) = P(S) + P(∅), y entonces P(∅) = 0.
Ejemplo: Sean A, B, C y D eventos del espacio muestral S, y A⋂B = A⋂C = B⋂C = B⋂D = C⋂D = D⋂A = ∅ , demuestra que P(A⋃B⋃C⋃D) = P(A) + P(B) + P(C) + P(D).
Demostración:
Puesto que:
(A⋃B)⋂(C⋃D) = [(A⋃B)⋂C]⋃[(A⋃B)⋂D]
= (A⋂C)⋃(B⋂C)⋃(A⋂D)⋃(B⋂D)
=∅⋃∅⋃∅⋃∅
=∅
Entonces por axioma 3
P[(A⋃B)⋃(C⋃D)] = P(A⋃B) + P(C⋃D) (1)
Luego como A⋂B = ∅ y C⋂D = ∅ entonces por el axioma 3:
P(A⋃B)=P(A)+P(B) y P(C⋃D)=P(C)+P(D) (2)
Sustituyendo (2) en (1), se cumple que:
P(A⋃B⋃C⋃D) = P[(A⋃B)⋃(C⋃D)]
= P(A) + P(B) + P(C) + P(D)
Probabilidad de el complemento:
Sea A un evento dentro de un espacio muestral S. Al evento A^c se le conoce como complemento del evento A, y a P(A^c) se le conoce como probabilidad del complemento del evento A. Se cumple que P(A) = 1 – P(A^c).
Ejemplo: Determina la probabilidad de que al tirar una moneda 10 veces se obtenga al menos una cara. (Utilizar calculadora)
Solución:
Sea A: La probabilidad de obtener al menos una cara en 10 lanzamientos.
2*2*2*2*2*2*2*2*2*2= 2^10 (El número de resultados en que la moneda caiga en cara o en cruz)
Entonces, A^c: Es la probabilidad de no obtener cara en los 10 lanzamientos (Es equivale a decir que caiga 10 veces corona).
Luego P(A) = 1 – P(Ac) = 1 – 1/2^10
= 1023/1024
Probabilidad condicional:
Definición:
Dados dos evento A y B, se puede estar interesado en encontrar la probabilidad de que suceda el evento A suponiendo que ya sucedió el evento B. Esto se conoce como probabilidad condicional, se denota P(A/B), y se lee: “La probabilidad de A dado B”. Para calcularla se puede considerar que los casos posibles son las formas en que puede suceder B, es decir n(B), y los casos favorables como las formas en que puede suceder A⋂B, es decir n(A⋂B). Entonces se cumple que:
Considerando el total de casos que tiene el espacio muestral como n(S), se tiene que la igualdad anterior es equivalente a:
Ejemplo: Determina la probabilidad de que al lanzar un dado el resultado es mayor que 4 dado que es impar.
Solución: Considerando
A: es mayor que 4 y B: es impar.
Entonces:
P(A⋂B) = 1/6 (solo 5 cumple),
P(B) = 3/6 (cumplen el 1, 3 y 5)
Por lo tanto P(A/B) = P(A⋂B) / P(B)
= 1/6 ÷ 3/6
= 1/3
Variables de la probabilidad condicional.
Es posible calcular la probabilidad de una intersección a partir del resultado de probabilidad condicional que se estudió en el tema anterior, para ello se cumple que: P(A⋂B) = P(B)P(A/B).
Este resultado se conoce como Teorema del producto para probabilidad.
Ejemplo: Utilizando el diagrama de Venn calcula.
a) P(B) y P(A).
b) P(B/A) y P(A/B).
Solución:
a) P(B) = 6/11 y P(A) = 4/11
b) En A hay 4 elementos, y estando en el conjunto A, hay solamente 2 formas en que puede ocurrir B, por lo tanto, P(B/A) = 2/4 = 1/2 y de manera consecuente en B hay 6 elementos y estando en el conjunto B solamente hay dos formas en que puede concurrir con A, por lo tanto, P(A/B) = 2/6 = 1/3 .
Aplicación de probabilidad condicional.
La probabilidad condicional a menudo se utiliza para agregar condiciones dependiendo la conveniencia o la situación determinada. Por ejemplo para el Problema inicial podría ser de utilidad para estudiar las estra-tegias de juego, en otras situaciones podría utilizarse para pronosticar el clima, situaciones de epidemias y características de las personas que afecta, entre otros.
Ejemplos:
1. En un juego de cartas la primera carta ha sido de tréboles, para ganar es necesario que la segunda carta también sea de tréboles. Analiza en qué situación se tienen mayores probabilidades de ganar, si la segunda carta es extraída de la misma baraja que la primera (sin reponer la primera carta), o si la segunda carta es extraída de una baraja íntegra (de la cual no se ha extraído ninguna carta aún).
Solución:
Analizando cada caso, en el escenario en donde se extrae de la misma baraja, tenemos que:
El número de cartas que contiene una baraja es 52
Al sacar una de las cartas de la baraja tenemos que el total de cartas actual es de 51 cartas.
También tenemos que en la baraja hay un total de 13 cartas de tréboles. Pero tenemos que la primera carta será de tréboles, la cartas que nos quedan son 12.
Definimos
A= la carta es de tréboles
Entonces:
P(A)= 12/51 = 4/17
Y para el escenario en que se extrae la carta de otra baraja se tiene que:
Se toma una carta de tréboles de la primera baraja pero ninguna de la segunda baraja.
Es decir la segunda baraja tendrá 52 cartas totales y 13 de tréboles.
Sea B = la carta es de tréboles.
Entonces:
P(B) = 13/52 = 1/4.
2. En un estudio se quiere determinar si la diabetes es una consecuencia del sobrepeso,y se investigó que la probabilidad de que una persona tenga sobrepeso es 1/2, y además cuando una persona tiene sobrepeso la probabilidad de que tenga también diabetes es 2/3. Determina la probabilidad de que una persona tenga tanto sobrepeso como diabetes.
Solución:
B: la persona tiene sobrepeso.
Entonces. P(B)=1/2 y P(A/B)= 2/3
Por lo tanto, P(A⋂B) = P(B)P(A/B)
= 1/2 × 2/3
= 1/3
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
¿QUIERES PRACTICAR UN POCO?
Realiza el siguiente test sobre el tema antes tratado
No hay comentarios.:
Publicar un comentario