UN POQUITO DE HISTORIA
Es frecuente mencionar a Pascal en matemática ya que el triángulo aritmético llamado triángulo de Pascal es llamado así en su honor, un matemático francés Blaise Pascal, quien introdujo esta notación en 1654, en su Traité du Triangle arithmétique.
Pascal comienza su tratado sobre el triángulo con una serie de definiciones. Llama rangos paralelos a las líneas horizontales; rangos perpendiculares a las líneas verticales; bases a las diagonales paralelas a la base del triángulo, es decir la hipotenusa. Y cellules, celdas o casillas, como ya se ha dicho, las formadas por las intercepciones de las líneas horizontales y verticales. Los rangos están numerados tanto en horizontal como en vertical.
La primera fila y primera columna contienen el número 1 en todas sus casillas. El triángulo de Pascal es una representación de los coeficientes binomiales ordenados en forma triangular, explicaremos la construcción de este, sus características y propiedades a continuación.
Las propiedades y aplicaciones del triángulo fueron conocidas con anterioridad por matemáticos: indios, chinos y persas, pero en particular Pascal desarrolló muchas aplicaciones y es el primero en organizar la información de manera conjunta.
CONSTRUCCIÓN DEL TRIANGULO DE PASCAL
La construcción del triángulo aritmético es bastante simple, consta que cada línea se construye a partir de la anterior. Con excepción de los números 1. El triángulo de Pascal es un triángulo de números enteros, infinito y simétrico Se empieza con un 1 en la primera fila, y en las filas siguientes se van colocando números de forma que cada uno de ellos sea la suma de los dos números que tiene encima. Se supone que los lugares fuera del triángulo contienen ceros, de forma que los bordes del triángulo están formados por unos que siempre están en los extremos
El proceso continúa escribiendo en las casillas inferiores la suma de las dos cifras situadas sobre ellas
PROPIEDADES
Propiedad 1
Los números del triángulo de Pascal coinciden con los números combinatorios.
El número combinatorio Cmn (n sobre m) se encuentra en el triángulo en la fila n+1, en el lugar m+1.
El número combinatorio Cmn (n sobre m) que representa el número de grupos de m elementos que pueden hacerse de entre un conjunto de n (por ejemplo, (4 sobre 2) nos da el número de parejas distintas que podrían hacerse en un grupo de cuatro personas), se encuentra en el triángulo en la fila n+1, en el lugar m+1.
Podemos saber que el número de parejas posibles que decíamos antes es 6 si miramos el tercer número de la quinta fila.
Esto hace que el triángulo sea útil como representación de estos números, y proporciona una buena forma de intuir sus propiedades.
Podemos saber que el número de parejas posibles que decíamos antes es 6 si miramos el tercer número de la quinta fila.
Esto hace que el triángulo sea útil como representación de estos números, y proporciona una buena forma de intuir sus propiedades.
Propiedad 2
Números poligonales
En la diagonal tercera marcada aparecen
los números triangulares pero además en la inmediata inferior aparecen los números tetragonales, es decir, los que forman las pirámides triangulares, cuyos pisos son a su vez números triangulares.
Los números cuadrados (Los números cuadrados son aquellos cuyos puntos forman un cuadrado.
Coinciden con los cuadrados de los números enteros.
Comprueba que todo número cuadrado es suma de números impares consecutivos empezando por 1:
1 = 1;
1 + 3 = 4 ;
1 + 3 + 5 = 9 ;
1 + 3 + 5 + 7 = 16
Los números cuadrados (1, 4, 9, 16, 25, ...) son enteros del tipo:
se encuentran en el triángulo de Pascal recurriendo a la misma diagonal que en el caso anterior: construimos cada uno sumando dos números triangulares consecutivos. Eso nos proporciona: 1, 4, 9, 16, 25, ...
De hecho, por este método recurrente podemos construir todos los números poligonales, y en ese sentido están presentes en el triángulo de Pascal.
Propiedad 3
La segunda diagonal del triangulo de pascal contiene los números naturales
Propiedad 4
El triangulo de pascal contiene, al inicio de algunas filas, números primos Si el primer elemento de una fila es un número primo, todos los números de esa fila serán divisibles por él (a excepción del 1). Así, en la fila 7: (1 7 21 35 35 21 7 1), los números 7,21 y 35 son divisibles por 7.
Propiedad 5
Potencias de dos La suma de los elementos de cualquier fila es el resultado de elevar 2 al número que define a esa fila.
20 = 1
21 = 1+1 = 2
22 = 1+2+1 = 4
23 = 1+3+3+1 = 8
24 = 1+4+6+4+1 = 16
Propiedad 6
El triangulo de Pascal contiene las potencias de 11. Si la fila está formada por números de un solo dígito, basta unirlos. En el caso de la fila 2 tenemos
Pero por ejemplo en la fila numero 7 la potencia de 11 que corresponde es 1771561
1 ( 6 1) (5 2) (0 1) 5 6 1
1 7 7 1 5 6 1
y así se obtiene la potencia de 11 de cada fila.
Propiedad 7
En cualquier diagonal del triangulo del Pascal, sin importar la longitud, se cumple que La suma de todos los números que la integran se encuentran justo debajo del último de ellos, en la diagonal contraria.
Propiedad 8
Sucesión de Fibonacci
La serie de Fibonacci puede ser encontrada también en el triángulo de Pascal. Dividiendo al mismo según las líneas que mostramos en el diagrama, los números atrapados entre ellas suman cada uno de los elementos de esta sucesión.
Recordemos que esta sucesión, es:
1,1,2,3,5,8,13,21,...
Propiedad 9
En el triangulo de Pascal se encuentran los coeficientes de (a + b)n se puede ver que las potencias de a empiezan elevadas a n, y disminuye uno a uno hasta llegar a cero. Con los exponentes de b acontece lo contrario a esto, sus coeficientes corresponderán a los elementos de la fila n.
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Realiza el siguiente test sobre el tema antes tratado
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